Corso di Fondamenti di Controlli (9cfu)

Domande frequenti

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• [Video 3_2] Riguardo l'esempio del controllo della temperatura di due stanze apportando calore in modo simmetrico: il cambio di variabile da vettore x a vettore z ha messo in risalto il fatto che esiste uno spazio di stato che non è raggiungibile dall'ingresso. Questo vuol dire che tale area di spazio non era raggiungibile neanche quando si adottava ancora il modello con vettore di stato x, e che in qualche modo questa irrangiungibiltà fosse solo "nascosta"? In caso affermativo, l'unico indizio (a meno di effettuare simulazioni) di presenza di irrangiungibiltà nascoste ce lo fornisce l'ordine della rappresentazione IU?
  
  Si, è corretto. Il fatto che esista un sottospazio non raggiungibile dall'ingresso è una proprietà intrinseca del sistema, indipendente dalle coordinate adottate. Era già presente nelle coordinate x (infati potevo muovermi solo sulla retta x1=x2) ma si vede meglio nelle coordinate z (ottenute con un metodo che non rientra tra gli obietivi di questo corso), in quanto in questo caso appare evidente che z2 evolve liberamente e non può essere modificata con la u.
  La presenza di sottospazi non raggiungibili e quali questi siano è argomento del corso di Teoria dei Sistemi e non rientra tra gli obiettivi di questo corso. Però già in questo corso abbiamo uno strumento per capire che il sistema non è tutto raggiungibile e osservabile: è quando la IU (che impareremo a ricavare dalla ISU) presenta un ordine n minore di n segnato. Tuttavia, con gli strumenti di questo corso, non sappiamo se è un problema di raggiungibilità e/o di osservabilità (cioè non sappiamo quale blocchetto tra zb, zc e zd esiste oltre a za). L'unica cosa che possiamo dire è che se n = n segnato, possiamo stare tranquilli. Se invece ci ritroviamo n minore di n segnato dobbiamo metterci in guardia e, con gli strumenti del corso di Teoria dei Sistemi, andare a individuare quali parti sono non raggiungibili e/o non osservabili, valutandone la stabilità.


• [Video 3_2] Quando nella sua lezione parla di aggiungere sensori e attuatori nel caso zd sia instabile, tale strumentazione verrebbe aggiunta allo scopo di "sottrarre" spazio di stato a zd in modo che ricada invece in za?
  
  Esatto, aggiungendo sensori e attuatori sulla parte di zd, zd viene inglobato in za.


• [Domanda su esercizio trasformata di Laplace y₁₀(t) riportato su questo link] Inizialmente ho risolto l'esercizio applicando la definizione della trasformata e quindi risolvendo l'integrale, poi però mi sono chiesto se ci fosse un modo più veloce per svolgerlo e ho trovato la seguente proprietà: L{x(t - T)} = X(s) e^-sT. Per applicarla ho dovuto prima moltiplicare e dividere la funzione per e³ cosi da avere anche nell'esponenziale la stessa traslazione, cioè e^{-3(t - 1)}. Così facendo ho ottenuto il risultato corretto. Volevo chiederle quindi se i due procedimenti sono equivalenti per lei oppure se preferisce, nel caso ci si trovasse una funzione di questo tipo, che applicassimo il primo procedimento.
  
  I procedimenti (quello da me seguito, riportato nel video 10.1 al tempo 13:14 e quello da te suggerito) sono equivalenti e quindi potete scegliere quello che preferite. La proprietà a cui fai riferimento, la trasformata cioè della funzione ritardata, vale nell'ipotesi che x(t) sia un segnale unilatero, come in effetti supposto nella nostra trattazione, cioè tale per cui x(t) = 0 per ogni t <= 0. In questo modo, quando integri x(t-T) e^-st da 0 a infinito per fare la trasformata di Laplace, di fatto l'integrale parte da T (il contributo da 0 a T è nullo) e quindi ottieni la proprietà da te citata. Vedere qui per maggiori dettagli.


• [Domanda su esercizio (iv) delle funzioni di trasferimento proposto in questo link] Mi è tutto chiaro sul come trovare la W(s), e come vedere le semplificazione da fare, quindi come individuare se ci sono "blocchetti" che non sono osservabili o eccitabili con impulsi in ingresso, solo che non mi è molto chiaro come è stata fatta la rappresentazione grafica di tale rappresentazione I-S-U.
  
  L'esercizio è svolto nella sez. 9.3 degli appunti sulla prima parte del corso. Innanzitutto tengo a sottolineare che quella rappresentazione grafica non rientra tra gli obiettivi del corso e non sarà quindi chiesta all'esame. Sono solo figure che faccio io per chiarire meglio cosa accade dentro al sistema (si noterà che la descrizione della figura è riportata in un carattere più piccolo per evidenziare appunto che è materiale facoltativo).
  In quanto alla figura in questione, la situazione è quella che descrivo in questo documento. In pratica ho scritto sulla sinistra le equazioni corrispondenti alle matrici A, B, C e D considerate e ho quindi notato che l'evoluzione di x1 dipende solo da x3 (infatti x1punto = x3), quella di x3 solo da x1 e dall'ingresso (infatti x3punto = -x1 + a*u) e quella di x2 solo da se stessa e dall'ingresso (infatti x2punto = (1/2)x2 + u). Infine y = x1 + b* x2.
  Sulla destra ho quindi disegnato le tre variabili collegandole con delle frecce che raffigurano proprio queste interazioni (la freccia da x3 a x1 indica per esempio che x3 influenza x1 in quanto x1punto = x3).
  Mettendo insieme nello stesso blocchetto le variabili x1 e x3 (tratteggiato rosso), si ottiene la figura della dispensa. Questo esercizio tra l'altro, essendo gli autovalori tutti distinti, poteva essere studiato anche con l'approccio basato sull'analisi modale (in questo caso, poiché la matrice è diagonalizzabile, i sottospazi raggiungibili e/o osservabili sono in effetti composti da autospazi).


• [Domanda su decibel] Perché nella definizione dei dB si moltiplica il logaritmo per 20?
  
  (Dal testo "Circuiti elettrici" di Renzo Perfetti, capitolo sulla risposta in frequenza) Il bel è l'unità di misura della quantità log₁₀(A/B), essendo A e B due grandezze positive omogenee. Il bel è raramente utilizzato poiché a esso si preferisce il decibel, che si ottiene con 10log₁₀(A/B). Storicamente il decibel è utilizzato nell'ingegneria per misurare il rapporto tra due potenze. Immaginando che tali potenze si riferiscano a due valori diversi di tensione o corrente di un resistore, il rapporto tra le potenze è pari al quadrato del rapporto tra le ampiezze delle tensioni o delle correnti: 10 log₁₀(P2/P1) = 10 log₁₀[(V2/V1)²] = 20log₁₀(V2/V1). Poiché spesso una funzione di trasferimento W(s) rappresenta il rapporto tra tensioni o tra correnti, il modulo delle funzioni di trasferimento viene espresso in decibel utilizzando la formula: |W(jω)|_dB = 20 log₁₀|W(jω)|. Una spiegazione analoga è disponibile anche su Wikipedia.